Great Deal! Get Instant \$10 FREE in Account on First Order + 10% Cashback on Every Order Order Now

# Concordia University Department of Economics ECON 681: Econometric Theory II Assignment 3: Due on 05/04/2023 Winter 2023–20/03/2023 Question 1: (Checking the robustness of quantile...

Concordia University
Department of Economics
ECON 681: Econometric Theory II
Assignment 3: Due on 05/04/2023
Winter 2023–20/03/2023
Question 1: (Checking the robustness of quantile estimators)
The goal of this question is to investigate the robustness of quantile estimators compare to OLS. We
will only consider the quantile estimator with ⌧ = 0.5 (the least absolute deviation estimator). Recall
that the LAD estimator in the linear regression model is equivalently defined as:
argmin

nX
i=1
|yi � x0i�| or argmin

nX
i=1
ui(⌧ � I(ui < 0)); with ui = yi � x0i� and ⌧ = 0.5.
This optimization program can be done using the fminsearch routine of Matlab which uses a simplex
algorithm and can work well even when the objective function is not smooth. Choose large values fo
‘MaxFunEvals’ and ‘MaxIter’ as option (e.g 10000 and 2000, respectively). Also, choose the OLS (o
MLE, GMM) estimates (whichever is relevant) of the parameter of interest as starting value for the
search algorithm.
Make sure you report your computation codes as this will count largely in the grade.
1. Generate a vector Y of n i.i.d variables from t distribution with ⌫ degrees of freedom (t(⌫))
and generate a vector X of n i.i.d variables from N(0, 1) in a way that X is independent of Y .
Choose n = 1000.
2. Compute the OLS estimator �̂ of � = (�1,�2)0 from the regression:
Yi = �1 + �2Xi + ui.
Store �̂2. Compute the LAD estimator �̃ of � from the same model and store �̃2.
3. Repeat 1. and 2. MC = 10000 times. What is the true parameter value �20 of �2 in this
simulation exercise? Calculate the simulated bias and root-mean-square-e
or (RMSE) of �̂2
and �̃2 through the MC replications. Recall that the simulated bias and RMSE are given by:
Bias(✓̂) =
1
MC
MCX
j=1
✓̂(j) � ✓0 and rmse(✓̂) =
vuut 1
MC
MCX
j=1

✓̂(j) � ✓0
⌘2
,
where ✓̂(j) is the value of ✓̂ obtained in the jth replication.
4. Perform 3. for ⌫ = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 5.0, and 10.0.
5. Report the results and comment on the choice of OLS and LAD estimators as well as the
obustness of the latter. Have also in mind that the t(⌫) has finite moments only up to ⌫ � 1.
1
Question 2: (Empirical application)
Use the data set in the file 401KSUBS to estimate the quantile regression:
nettfai = �1 + �2inci + �3agei + �4age
2
i + �5e401ki + ui, Quantile⌧ (ui|inci, agei, e401ki) = 0.
(Use the fminsearch matlab routine as indicated in the previous question and the OLS estimate as
starting value. Make sure you report your computation codes as this will count largely in the grade.)
Report six (6) columns of outputs containing the OLS estimates, and the quantile estimates of
� = (�1,�2,�3,�4,�5)0 for ⌧ = 0.1, 0.25, 0.5 (LAD), 0.75 and 0.9.
Report also their respective standard e
ors.
Comment your results. Discuss in particular the variation of the e↵ect of the co-variates on the
conditional distribution of nettfa at the considered locations.
Important note: See Abadie (2003, Section 6) for more background on the 401(K) retirement
savings programs in the US and data description.
Question 3: (Simulated method of moments (SMM), GMM and Indirect inference (II)
estimation.)
Assume that the process (xt)t follows the dynamics:
xt = ↵+ �xt�1ft + "t, � � 0, (1)
where zt = (ft, "t)0 ⇠ NID(0,�2I2) and zt is independent of xs for all s < t.
Our goal is to generate several samples {xt : t = 1, . . . , T} of the process (xt)t and on each
sample, we estimate the parameter of interest, ✓ = (↵,�,�2), by SMM, GMM and II and then
compare their bias, RMSE and MAD (mean absolute deviation). For this we first choose a true value
✓0 = (0.2, 0.5, 1.0) for ✓.
1. Show that the dynamics of (xt)t in (1) implies that the value of ✓ that governs this dynamics
solves the moment condition model:
E[g(xt, xt�1, ✓)] = 0 with g(xt, xt�1, ✓) =
0
@
xt � ↵
x2t � ↵2 � �2�2x2t�1 � �2
x2txt�1 � ↵2xt�1 � �2�2x3t�1 � �2xt�1
1
A (2)
2. Repeat the following steps MC = 10, 000 times and store the SMM, GMM and II estimators:
(a) Generate a sample of size T = 200 of (xt)t under ✓0. [Indication: Set the initial value of xt
to 0 and generate a sample of T + 100 observations and then take the last T observations
for your sample. This helps to minimize the e↵ect of initial value.]
(b) Estimate ✓0 by SMM by matching to the sample counterparts of the moments:
E
0
@
xt
x2t
x2txt�1
1
A
and store the estimates.
2
(c) Estimate ✓0 by GMM using the moment condition (2) and store the estimates.
(d) Estimate ✓0 by II based on GMM and store the estimates.
3. Report the bias, RMSE and MAD of each estimator component by component. Comment.
3

401ksubs
0    13.17    0    0    40    1    4.575    0    1     XXXXXXXXXX    1600
1    61.23    0    1    35    1    154    1    0     XXXXXXXXXX    1225
0    12.858    1    0    44    2    0    0    0     XXXXXXXXXX    1936
0    98.88    1    1    44    2    21.8    0    0     XXXXXXXXXX    1936
0    22.614    0    0    53    1    18.45    0    0    511.393    2809
0    15    1    0    60    3    0    0    0    225    3600
0    37.155    1    0    49    5    3.483    0    1     XXXXXXXXXX    2401
0    31.896    1    0    38    5    -2.1    0    0     XXXXXXXXXX    1444
0    47.295    1    0    52    2    5.29    0    1     XXXXXXXXXX    2704
1    29.1    0    1    45    1    29.6    0    1    846.81    2025
0    23.457    1    0    61    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    3721
0    31.785    1    0    40    6    18.149    0    0     XXXXXXXXXX    1600
0    34.941    1    0    48    3    0.695    0    0     XXXXXXXXXX    2304
0    24.432    1    0    60    2    0.2    0    0     XXXXXXXXXX    3600
0    25.131    1    0    43    5    -4.25    0    0     XXXXXXXXXX    1849
0    19.074    0    1    43    1    0    0    0     XXXXXXXXXX    1849
1    38.772    1    0    47    2    4.15    1    0     XXXXXXXXXX    2209
1    12.48    1    0    27    2    -10    0    0     XXXXXXXXXX    729
1    45.39    1    0    57    2    122.5    0    1     XXXXXXXXXX    3249
0    39.861    1    0    35    2    1.6    0    1     XXXXXXXXXX    1225
1    102.6    1    0    53    5    40.999    1    1     XXXXXXXXXX    2809
0    39.579    1    0    36    4    12.175    0    0     XXXXXXXXXX    1296
0    40.194    1    0    40    3    8.3    0    1     XXXXXXXXXX    1600
0    25.254    0    1    31    1    9.687    0    1     XXXXXXXXXX    961
0    10.8    0    0    48    2    0.5    0    0    116.64    2304
0    27    0    1    42    1    0.13    0    0    729    1764
0    17.856    1    0    42    5    -15.495    0    0     XXXXXXXXXX    1764
1    38.94    1    0    35    2    0.2    1    0     XXXXXXXXXX    1225
0    12.24    0    1    32    2    -2.5    0    1     XXXXXXXXXX    1024
0    18    0    0    46    2    0    0    1    324    2116
1    21.456    0    0    25    1    -21.02    1    0     XXXXXXXXXX    625
0    14.025    1    0    39    5    1.4    0    0     XXXXXXXXXX    1521
0    15.186    1    1    36    4    -5.192    0    1     XXXXXXXXXX    1296
1    41.415    1    0    34    5    5.8    1    1     XXXXXXXXXX    1156
0    12.966    0    0    52    2    -4.25    0    0     XXXXXXXXXX    2704
0    58.8    1    0    41    2    63.7    0    1    3457.44    1681
1    63.849    1    0    44    5    5.899    1    0     XXXXXXXXXX    1936
1    47.1    0    1    61    2    59.8    1    0    2218.41    3721
0    36.072    1    0    63    3    72.225    0    1     XXXXXXXXXX    3969
1    107.64    1    0    51    2    69    1    1     XXXXXXXXXX    2601
1    58.92    1    0    49    4    19.679    0    0     XXXXXXXXXX    2401
1    48.615    1    0    36    4    -2.7    0    0     XXXXXXXXXX    1296
0    29.205    1    0    34    6    0.268    0    0    852.932    1156
0    24.441    0    0    36    2    2    0    0     XXXXXXXXXX    1296
0    18.525    1    0    28    5    -1.98    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    15.36    1    0    38    4    -0.95    0    0     XXXXXXXXXX    1444
0    53.475    1    0    54    2    0.33    0    0     XXXXXXXXXX    2916
1    31.056    1    0    47    6    5.64    1    0     XXXXXXXXXX    2209
0    36.072    1    0    46    5    0    0    0     XXXXXXXXXX    2116
1    19.164    1    0    51    2    0.899    0    0     XXXXXXXXXX    2601
0    44.376    0    1    48    1    24.999    0    0     XXXXXXXXXX    2304
0    28.329    0    0    54    2    26.53    0    1     XXXXXXXXXX    2916
1    37.38    0    1    48    1    2.999    0    0     XXXXXXXXXX    2304
0    17.817    0    1    42    1    1.7    0    0     XXXXXXXXXX    1764
1    71.028    1    0    60    2    257.6    1    1     XXXXXXXXXX    3600
0    28.476    0    0    58    1    27    0    1     XXXXXXXXXX    3364
0    34.041    1    0    30    2    -4    0    0    1158.79    900
0    25.86    0    0    26    1    10.5    0    0     XXXXXXXXXX    676
1    77.355    1    0    33    4    30.9    1    1     XXXXXXXXXX    1089
0    15.414    0    0    50    4    0.145    0    0     XXXXXXXXXX    2500
0    73.902    1    0    44    4    14.299    0    0     XXXXXXXXXX    1936
1    10.545    0    1    25    1    1.031    1    0    111.197    625
0    24.177    0    1    25    1    -1.301    0    0     XXXXXXXXXX    625
1    33.42    0    0    46    2    8.412    1    0     XXXXXXXXXX    2116
0    53.226    1    0    51    8    -1.2    0    0     XXXXXXXXXX    2601
0    31.869    0    1    36    1    1.6    0    1     XXXXXXXXXX    1296
0    26.946    0    0    64    2    -3.8    0    0     XXXXXXXXXX    4096
1    90.726    1    0    62    2    13.6    1    1     XXXXXXXXXX    3844
0    28.8    1    0    31    8    0.1    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    23.193    1    0    37    7    -1.886    0    0     XXXXXXXXXX    1369
1    36.036    0    1    64    1    18.25    1    0     XXXXXXXXXX    4096
0    56.082    1    0    28    2    9.8    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    16.032    0    1    25    2    1.93    0    0    257.025    625
1    52.236    1    0    38    6    -3    0    0    2728.6    1444
0    39.63    1    0    41    3    0.225    0    0     XXXXXXXXXX    1681
1    34.47    1    0    50    5    27.798    1    0     XXXXXXXXXX    2500
0    31.548    1    0    56    6    -24.8    0    0     XXXXXXXXXX    3136
1    31.2    1    0    28    2    -72.8    0    0     XXXXXXXXXX    784
1    19.806    1    0    39    4    25.57    1    0     XXXXXXXXXX    1521
1    74.529    1    0    42    4    17.95    1    0     XXXXXXXXXX    1764
1    26.682    1    0    43    5    3.6    1    0     XXXXXXXXXX    1849
0    33.75    0    1    25    1    -3    0    0     XXXXXXXXXX    625
1    146.577    1    0    43    5    778.628    1    1     XXXXXXXXXX    1849
0    23.718    0    0    32    1    14.299    0    1     XXXXXXXXXX    1024
1    19.302    0    0    31    1    -3.4    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    29.4    1    0    53    2    27.96    0    1    864.36    2809
0    16.977    0    0    35    2    -1.025    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    19.734    1    0    49    7    -1.3    0    0     XXXXXXXXXX    2401
0    14.28    1    0    43    4    -0.5    0    0     XXXXXXXXXX    1849
0    30.075    1    0    47    3    4.232    0    1     XXXXXXXXXX    2209
0    27    1    0    46    3    -3.3    0    0    729    2116
1    33.96    1    0    36    13    10.2    1    0     XXXXXXXXXX    1296
0    64.5    1    0    47    3    5.9    0    0    4160.25    2209
0    24.03    0    0    31    2    -4    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    21.111    0    0    64    1    2.5    0    0     XXXXXXXXXX    4096
0    51.798    0    0    38    2    41.999    0    0     XXXXXXXXXX    1444
1    17.364    1    0    27    2    -37.504    1    0     XXXXXXXXXX    729
0    19.254    0    0    28    1    -1.1    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    27.603    1    0    35    4    7.559    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    31.44    0    1    33    1    -1    0    0     XXXXXXXXXX    1089
0    30.24    0    0    45    3    0.92    0    0     XXXXXXXXXX    2025
0    16.83    0    1    28    1    0.74    0    0     XXXXXXXXXX    784
1    30.231    1    0    34    4    -0.03    1    0     XXXXXXXXXX    1156
0    35.4    0    1    33    2    2.475    0    0    1253.16    1089
1    46.155    1    0    55    5    53.948    1    1     XXXXXXXXXX    3025
0    27.33    1    0    50    4    -2.6    0    0     XXXXXXXXXX    2500
1    24.678    0    0    44    3    0.583    0    0     XXXXXXXXXX    1936
1    36.027    1    1    59    2    20.249    1    0     XXXXXXXXXX    3481
0    13.59    0    0    32    4    0    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    15.741    0    0    49    2    0.05    0    0     XXXXXXXXXX    2401
0    27.465    1    0    52    4    1.1    0    0     XXXXXXXXXX    2704
0    54.963    1    0    55    2    53.699    0    0     XXXXXXXXXX    3025
0    18.549    1    0    63    2    19    0    0     XXXXXXXXXX    3969
1    21.576    0    1    39    1    14.5    1    1     XXXXXXXXXX    1521
0    38.76    1    0    47    3    -0.5    0    0     XXXXXXXXXX    2209
1    64.662    1    0    62    2    19.444    1    1     XXXXXXXXXX    3844
1    43.158    1    0    46    2    8    1    0     XXXXXXXXXX    2116
0    17.88    0    0    43    3    -3.151    0    0     XXXXXXXXXX    1849
1    23.7    1    0    53    2    13.2    1    0     XXXXXXXXXX    2809
0    37.755    1    0    56    2    -1.2    0    0    1425.44    3136
1    40.971    1    1    29    3    -9.968    1    0     XXXXXXXXXX    841
0    13.428    1    0    28    2    7.179    0    0     XXXXXXXXXX    784
1    92.991    1    0    48    5    83.9    1    1     XXXXXXXXXX    2304
0    35.061    1    0    41    3    22    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    17.136    0    1    34    3    0.015    0    0     XXXXXXXXXX    1156
0    16.956    1    0    47    2    0.826    0    0     XXXXXXXXXX    2209
1    56.7    1    0    63    2    94.399    1    1    3214.89    3969
0    70.275    1    0    41    4    -2.157    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    13.464    0    0    27    2    0.4    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    74.649    1    0    39    4    -8.005    0    0     XXXXXXXXXX    1521
0    24.012    0    0    41    3    -9.456    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    20.559    0    0    30    3    2.9    0    0     XXXXXXXXXX    900
0    39.528    1    1    55    2    -15.718    0    1     XXXXXXXXXX    3025
0    39.303    0    0    34    1    -12.188    0    0     XXXXXXXXXX    1156
0    17.715    0    1    31    1    4.05    0    0     XXXXXXXXXX    961
1    55.08    1    0    54    2    44.043    1    0     XXXXXXXXXX    2916
1    20.76    0    1    55    1    7.955    0    0     XXXXXXXXXX    3025
0    14.283    0    1    40    1    0.028    0    0     XXXXXXXXXX    1600
0    20.436    1    0    31    4    -0.2    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    26.388    1    0    26    4    0.866    0    0     XXXXXXXXXX    676
0    46.104    1    0    39    3    4.35    0    0     XXXXXXXXXX    1521
1    49.71    1    0    42    3    27.097    0    1     XXXXXXXXXX    1764
1    76.806    1    0    52    2    80.049    1    0     XXXXXXXXXX    2704
1    39.705    1    0    39    4    71.569    0    1     XXXXXXXXXX    1521
0    11.22    0    0    30    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    900
0    18.348    0    0    50    4    0.3    0    0     XXXXXXXXXX    2500
0    13.95    0    0    49    6    0    0    0     XXXXXXXXXX    2401
0    15.216    1    0    32    10    0.2    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    36.15    1    0    32    4    -2.2    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    47.34    0    1    27    2    -10.43    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    63.225    1    0    40    6    10.571    0    1    3997.4    1600
1    26.031    0    0    49    2    0.5    0    0    677.613    2401
0    20.4    1    0    36    5    0    0    0    416.16    1296
0    17.928    0    0    36    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    1296
1    31.8    1    0    38    5    12.51    1    0    1011.24    1444
0    30    1    1    42    2    -15.1    0    0    900    1764
0    26.463    0    0    43    1    10.011    0    1     XXXXXXXXXX    1849
1    73.722    1    0    42    5    3.2    1    0     XXXXXXXXXX    1764
0    33.414    1    0    32    4    -4.7    0    0     XXXXXXXXXX    1024
1    34.08    1    0    35    6    5.1    0    0     XXXXXXXXXX    1225
1    48.9    0    0    61    1    28.08    1    1    2391.21    3721
1    21    0    1    41    1    -2.347    0    0    441    1681
1    39.609    1    0    59    2    48.684    0    1     XXXXXXXXXX    3481
1    80.85    1    0    45    5    132.425    1    1     XXXXXXXXXX    2025
1    91.761    1    0    35    4    -3.45    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    46.719    1    0    41    5    4    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    19.2    0    1    25    1    0    0    0    368.64    625
1    102.705    1    0    35    2    56.6    1    0     XXXXXXXXXX    1225
0    54.966    1    0    33    3    1.4    0    0     XXXXXXXXXX    1089
0    12.75    0    1    38    2    0    0    0     XXXXXXXXXX    1444
1    52.836    1    0    50    2    37.65    1    0     XXXXXXXXXX    2500
0    12.72    1    0    32    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    1024
1    26.646    0    0    28    1    62.679    1    0     XXXXXXXXXX    784
0    59.664    1    0    44    5    11.4    0    1     XXXXXXXXXX    1936
0    39.15    1    0    58    2    189.4    0    1     XXXXXXXXXX    3364
0    21.3    1    0    47    6    -0.986    0    0    453.69    2209
0    30.87    0    0    48    3    10.95    0    1    952.957    2304
0    16.5    1    0    57    2    23    0    0    272.25    3249
0    32.592    1    0    57    4    -2.1    0    0     XXXXXXXXXX    3249
0    27.345    1    0    34    5    0.409    0    0    747.749    1156
0    35.418    1    0    57    5    -5.75    0    0     XXXXXXXXXX    3249
0    24.3    0    0    45    1    0.05    0    0    590.49    2025
1    52.365    1    0    46    2    6    0    0     XXXXXXXXXX    2116
0    26.865    1    1    29    4    -1.945    0    0     XXXXXXXXXX    841
0    39.48    1    0    35    3    40.2    0    1    1558.67    1225
1    45.693    1    0    40    2    18.576    1    1    2087.85    1600
0    39.3    1    0    42    5    -4.9    0    0    1544.49    1764
0    14.244    0    0    60    1    120    0    1     XXXXXXXXXX    3600
0    43.518    1    0    27    3    -7.5    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    10.857    0    1    27    1    1.046    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    51.222    0    0    33    3    1.6    0    0     XXXXXXXXXX    1089
0    34.764    1    1    63    2    3    0    0     XXXXXXXXXX    3969
0    16.959    1    0    43    7    -0.5    0    0     XXXXXXXXXX    1849
0    23.64    1    0    26    5    -6.001    0    0     XXXXXXXXXX    676
1    56.304    1    0    45    4    29.4    1    0     XXXXXXXXXX    2025
1    107.097    1    0    54    2    47.922    0    0     XXXXXXXXXX    2916
1    46.818    1    0    39    4    1.8    1    1     XXXXXXXXXX    1521
0    13.11    0    0    30    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    900
0    29.16    0    0    36    3    4.245    0    0     XXXXXXXXXX    1296
1    42.54    1    0    52    2    30.1    1    0     XXXXXXXXXX    2704
0    74.31    1    0    49    6    -5.5    0    0     XXXXXXXXXX    2401
0    27.729    1    0    31    6    -4.88    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    15    0    0    42    3    49.538    0    0    225    1764
1    54.723    1    0    57    2    21.948    1    0     XXXXXXXXXX    3249
0    61.581    1    0    44    4    61.366    0    1    3792.22    1936
1    72.03    1    0    43    2    21.998    0    1     XXXXXXXXXX    1849
1    37.338    1    0    48    7    -18.89    0    1     XXXXXXXXXX    2304
0    27.354    0    0    39    3    2.6    0    1     XXXXXXXXXX    1521
1    92.898    0    1    27    1    30.957    1    1     XXXXXXXXXX    729
0    42.942    1    0    33    4    -2.205    0    0     XXXXXXXXXX    1089
1    31.017    1    0    31    5    1.209    0    1     XXXXXXXXXX    961
1    23.892    0    0    35    1    5.249    1    0     XXXXXXXXXX    1225
1    44.46    1    0    39    2    38.307    1    1     XXXXXXXXXX    1521
0    33.72    1    1    30    2    -2.552    0    0     XXXXXXXXXX    900
0    52.821    1    0    37    5    3.3    0    1     XXXXXXXXXX    1369
1    86.4    1    0    43    4    45.1    0    1    7464.96    1849
0    14.763    1    0    31    4    -5.007    0    0     XXXXXXXXXX    961
1    107.301    1    0    50    3    371.901    1    1    11513.5    2500
0    20.385    0    0    27    1    -0.8    0    0     XXXXXXXXXX    729
1    41.526    1    0    35    2    -1.5    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    27.375    1    0    41    4    -1.2    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    24.336    1    0    42    4    -0.3    0    0     XXXXXXXXXX    1764
1    34.425    1    0    40    4    -6.46    1    0     XXXXXXXXXX    1600
0    43.131    1    0    45    2    59.16    0    1     XXXXXXXXXX    2025
1    57.063    1    0    54    4    138.999    1    1     XXXXXXXXXX    2916
1    41.535    0    1    30    1    83.7    0    1     XXXXXXXXXX    900
0    61.722    1    1    32    3    -2.48    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    99.153    1    0    43    2    80.802    0    1     XXXXXXXXXX    1849
0    37.296    1    0    28    3    -2    0    0     XXXXXXXXXX    784
1    27.06    0    0    38    3    37.1    1    0     XXXXXXXXXX    1444
0    32.46    0    0    26    1    -4.49    0    0     XXXXXXXXXX    676
1    28.491    0    1    46    3    4.02    1    0     XXXXXXXXXX    2116
1    19.596    0    1    41    2    -1.2    1    0     XXXXXXXXXX    1681
1    18.54    0    0    37    5    0.964    1    0     XXXXXXXXXX    1369
1    102.435    1    0    54    2    139.629    1    1     XXXXXXXXXX    2916
0    26.7    1    0    39    4    46    0    0    712.89    1521
1    43.788    0    0    43    3    46.85    1    1     XXXXXXXXXX    1849
1    45.87    1    0    47    2    38.8    1    1     XXXXXXXXXX    2209
0    38.88    0    1    61    2    -17.7    0    0     XXXXXXXXXX    3721
0    17.706    0    0    43    3    3.399    0    0     XXXXXXXXXX    1849
0    21.63    0    0    63    2    -0.74    0    0     XXXXXXXXXX    3969
1    43.437    1    0    36    3    12.818    1    1     XXXXXXXXXX    1296
1    57.15    1    0    34    4    2.2    1    0     XXXXXXXXXX    1156
1    22.902    0    1    51    1    61.749    1    1     XXXXXXXXXX    2601
0    40.74    1    0    42    5    3.6    0    1     XXXXXXXXXX    1764
0    13.182    1    0    32    4    -2.373    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    11.61    0    0    44    1    0.05    0    0     XXXXXXXXXX    1936
1    108.588    1    0    62    2    84.196    0    0     XXXXXXXXXX    3844
1    29.772    1    0    53    2    1.198    0    0     XXXXXXXXXX    2809
1    67.32    1    0    45    3    36.199    1    0     XXXXXXXXXX    2025
1    46.236    1    0    57    3    22.398    0    1     XXXXXXXXXX    3249
0    32.589    1    0    31    4    1.3    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    60.498    1    0    40    2    10.05    0    1     XXXXXXXXXX    1600
0    30.21    0    1    30    2    3.1    0    1    912.644    900
1    55.125    1    0    35    4    23.969    1    1     XXXXXXXXXX    1225
1    56.676    1    0    56    2    -6.239    0    0     XXXXXXXXXX    3136
1    70.845    1    0    57    2    200    1    1     XXXXXXXXXX    3249
0    46.815    0    0    44    3    30.902    0    1     XXXXXXXXXX    1936
1    14.43    0    0    27    1    -4.5    0    0     XXXXXXXXXX    729
1    58.173    1    0    31    2    22.45    0    0     XXXXXXXXXX    961
1    50.646    0    0    40    2    45.584    1    1     XXXXXXXXXX    1600
0    12.207    0    1    32    1    -0.843    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    62.526    1    0    52    2    69.1    0    1     XXXXXXXXXX    2704
1    44.703    1    1    32    5    -14    0    0     XXXXXXXXXX    1024
0    85.38    1    0    25    4    -30.24    0    0     XXXXXXXXXX    625
0    34.647    0    1    35    1    4.999    0    0     XXXXXXXXXX    1225
1    27.786    1    1    41    3    -0.001    0    0     XXXXXXXXXX    1681
1    54.45    1    0    63    2    94.599    1    1     XXXXXXXXXX    3969
1    19.638    0    1    52    1    8.5    1    0     XXXXXXXXXX    2704
1    33.312    0    0    36    2    77.2    1    0     XXXXXXXXXX    1296
0    24.534    1    0    25    3    5.15    0    0     XXXXXXXXXX    625
0    18.36    0    1    28    1    0.015    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    28.74    0    1    27    1    -1.2    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    36.168    1    0    25    3    -1.501    0    0     XXXXXXXXXX    625
0    17.01    1    0    47    3    4.15    0    0     XXXXXXXXXX    2209
0    17.412    0    0    39    3    0    0    0     XXXXXXXXXX    1521
0    32.427    1    0    37    2    0.1    0    0    1051.51    1369
0    38.058    0    1    28    1    5.2    0    0     XXXXXXXXXX    784
1    58.317    1    0    46    3    36.5    0    1     XXXXXXXXXX    2116
0    15.822    1    0    26    2    11.4    0    0     XXXXXXXXXX    676
0    43.275    1    0    26    2    -3.073    0    0     XXXXXXXXXX    676
0    17.445    1    0    34    4    -7    0    0    304.328    1156
1    21.639    1    0    42    4    0.249    0    0     XXXXXXXXXX    1764
0    48.033    0    0    61    2    32.055    0    1     XXXXXXXXXX    3721
0    49.08    1    0    54    2    45.7    0    1     XXXXXXXXXX    2916
1    35.292    0    1    61    1    3    0    0     XXXXXXXXXX    3721
0    28.575    0    0    27    1    1.249    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    33.366    0    1    43    1    12.599    0    0    1113.29    1849
1    35.472    0    1    51    2    60.398    1    0     XXXXXXXXXX    2601
0    42.93    1    1    35    3    -18.88    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    17.58    1    0    32    2    12.2    0    1     XXXXXXXXXX    1024
0    77.01    1    0    36    4    26    0    1     XXXXXXXXXX    1296
0    37.662    1    0    37    11    -2.382    0    0     XXXXXXXXXX    1369
1    20.43    1    0    57    1    -1.94    1    0     XXXXXXXXXX    3249
0    27.84    0    0    40    2    0    0    0     XXXXXXXXXX    1600
0    49.806    0    0    37    1    110.103    0    1     XXXXXXXXXX    1369
0    24.678    1    0    34    3    -0.312    0    0     XXXXXXXXXX    1156
0    15.81    1    1    60    3    -3.2    0    0     XXXXXXXXXX    3600
1    17.628    1    0    27    4    12.34    1    0     XXXXXXXXXX    729
0    20.406    1    0    37    4    -10.515    0    1     XXXXXXXXXX    1369
0    37.644    1    1    44    3    -6.656    0    0     XXXXXXXXXX    1936
0    89.175    1    1    43    3    -0.2    0    0     XXXXXXXXXX    1849
0    30.165    1    1    56    3    -0.101    0    0     XXXXXXXXXX    3136
0    27.294    0    0    34    2    -2.5    0    0     XXXXXXXXXX    1156
0    34.509    0    1    39    1    13.3    0    0     XXXXXXXXXX    1521
0    28.716    1    0    30    4    -19.175    0    0     XXXXXXXXXX    900
1    15    0    1    38    1    2.85    1    0    225    1444
1    29.325    1    0    33    4    5.513    1    0     XXXXXXXXXX    1089
0    56.913    1    1    39    3    35.883    0    1     XXXXXXXXXX    1521
1    51.051    1    0    29    4    16.6    1    0     XXXXXXXXXX    841
1    169.2    1    0    49    2    484.198    1    1     XXXXXXXXXX    2401
0    25.704    0    0    49    1    -0.369    0    0     XXXXXXXXXX    2401
0    25.8    0    0    37    1    13.5    0    1    665.64    1369
1    110.985    1    0    36    4    10.8    1    0     XXXXXXXXXX    1296
0    35.625    1    0    34    5    -8    0    0     XXXXXXXXXX    1156
0    45.762    1    0    39    4    16.069    0    1     XXXXXXXXXX    1521
1    46.911    1    0    56    4    9.02    0    1     XXXXXXXXXX    3136
0    15.906    0    0    26    4    0.1    0    0     XXXXXXXXXX    676
1    50.433    1    0    29    2    14.126    1    0     XXXXXXXXXX    841
1    53.844    1    0    44    4    4.73    0    1     XXXXXXXXXX    1936
0    28.356    1    0    26    2    4.591    0    0     XXXXXXXXXX    676
1    50.4    0    1    39    2    5.8    1    0    2540.16    1521
1    33.15    0    0    43    2    24.68    1    0     XXXXXXXXXX    1849
0    16.488    1    0    27    6    -1.422    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    41.775    0    1    50    1    9.499    0    1     XXXXXXXXXX    2500
1    36.147    1    0    34    4    -0.071    1    1     XXXXXXXXXX    1156
0    34.95    0    0    41    3    0.5    0    0     XXXXXXXXXX    1681
1    31.005    0    1    27    1    0    0    0    961.31    729
1    48.528    1    0    46    3    3.22    0    0     XXXXXXXXXX    2116
0    34.68    1    1    45    4    -57    0    0     XXXXXXXXXX    2025
0    12.6    0    0    42    1    -9.55    0    0    158.76    1764
0    20.07    1    1    52    2    -4    0    0     XXXXXXXXXX    2704
0    38.319    1    0    31    3    0.09    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    20.73    1    0    28    4    1.9    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    28.248    0    1    31    1    15.15    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    31.098    0    0    55    1    20.299    0    0     XXXXXXXXXX    3025
1    24.996    0    1    44    1    1.4    0    0    624.8    1936
0    22.338    0    1    26    1    0.892    0    0     XXXXXXXXXX    676
0    86.79    1    1    27    4    1.4    0    0     XXXXXXXXXX    729
0    14.655    0    0    27    3    0    0    0    214.769    729
1    16.224    0    0    42    6    -1.5    0    0     XXXXXXXXXX    1764
0    25.185    0    0    59    1    237.95    0    1     XXXXXXXXXX    3481
0    24    0    1    40    1    0    0    0    576    1600
0    48.027    0    1    39    1    1.9    0    1     XXXXXXXXXX    1521
0    17.4    0    0    35    1    -10.1    0    0    302.76    1225
0    18.75    1    0    35    7    0    0    0     XXXXXXXXXX    1225
1    30.576    0    0    31    1    13.5    1    0     XXXXXXXXXX    961
1    91.776    1    1    42    5    12    1    0     XXXXXXXXXX    1764
0    17.85    0    1    25    1    0    0    0     XXXXXXXXXX    625
1    29.31    0    0    54    1    4.8    0    0    859.076    2916
1    66.852    1    0    42    3    10.901    1    0     XXXXXXXXXX    1764
1    23.07    0    0    30    1    2.16    1    0     XXXXXXXXXX    900
1    66.15    1    1    28    4    -1.29    1    0     XXXXXXXXXX    784
1    81.711    1    0    54    5    249.6    1    1     XXXXXXXXXX    2916
0    31.587    1    0    54    2    22.998    0    0     XXXXXXXXXX    2916
1    64.878    0    1    33    1    27.343    1    0     XXXXXXXXXX    1089
0    36.06    0    0    28    1    -5    0    0     XXXXXXXXXX    784
0    33.6    1    0    39    2    -9    0    0    1128.96    1521
0    60.03    1    0    39    5    -3.3    0    0     XXXXXXXXXX    1521
0    60.225    0    1    37    1    -15.8    0    0     XXXXXXXXXX    1369
1    65.7    1    0    43    5    53.948    1    0    4316.49    1849
1    32.49    0    0    61    3    20.6    1    0    1055.6    3721
0    109.608    1    1    33    4    -9    0    0     XXXXXXXXXX    1089
1    97.887    1    0    44    4    60.196    1    1     XXXXXXXXXX    1936
1    50.268    0    1    41    1    20.1    1    0     XXXXXXXXXX    1681
0    55.5    1    0    63    2    55    0    1    3080.25    3969
1    50.484    1    0    36    4    8.6    0    0     XXXXXXXXXX    1296
0    70.905    1    0    41    6    1    0    0     XXXXXXXXXX    1681
0    16.14    0    1    35    1    12.999    0    0     XXXXXXXXXX    1225
0    17.967    0    0    30    4    -2    0    0    322.813    900
1    24.48    1    0    44    3    3.4    1    0     XXXXXXXXXX    1936
0    25.005    1    0    60    3    -1.829    0    0    625.25    3600
0    31.47    1    0    31    2    -0.75    0    1     XXXXXXXXXX    961
0    26.61    0    0    25    1    -5.8    0    0     XXXXXXXXXX    625
0    22.011    1    0    31    7    -1.9    0    0     XXXXXXXXXX    961
0    42.459    1    0    37    5    48.599    0    0     XXXXXXXXXX    1369
0    27    1    0    48    5    47.5    0    0    729    2304
0    101.949    1    0    53    3    32.5    0    1    10393.6    2809
0    22.74    1    1    55    7    15.999    0    0     XXXXXXXXXX    3025
0    20.58    1    0    63    2    2.999    0    0     XXXXXXXXXX    3969
1    96.864    1    0    42    3    -9.38    1    0     XXXXXXXXXX    1764
0    47.403    0    0    46    3    -0.301    0    0     XXXXXXXXXX    2116
0    11.094    1    0    51    3    -0.3    0    0     XXXXXXXXXX    2601
1    51.051    1    0    55    2    62    1    0     XXXXXXXXXX    3025
1    34.743    1    0    56    4    36.5    1    1     XXXXXXXXXX    3136
0    54.621    0    0    37    4    5.3    0    1     XXXXXXXXXX    1369
0    47.385    1    0    36    6    -0.9    0    0     XXXXXXXXXX    1296
0    46.746    1    0    51    3    0.899    0    0     XXXXXXXXXX    2601
0    103.455    0    1    44    1    68.248    0    0     XXXXXXXXXX    1936
1    24.21    1    0    44    6    5.59    1    0     XXXXXXXXXX    1936
0    34.89    1    0    44    5    -1.184    0    0     XXXXXXXXXX    1936
0    63.432    1    0    26    2    23.397    0    1     XXXXXXXXXX    676
0    44.268    1    0    44    3    -2    0    0     XXXXXXXXXX    1936
0    44.508    1    0    27    3    -4.199    0    0     XXXXXXXXXX    729
1    26.19    1    0    50    2    63.249    0    1     XXXXXXXXXX    2500
0    38.949    1    0    60    2    0.599    0    0     XXXXXXXXXX    3600
0    12.87    0    1    31    1    2.8    0    0     XXXXXXXXXX    961
1    17.484    0    0    57    3    27.999    1    0     XXXXXXXXXX    3249
0    36.873    1    0    29    2    -4.9    0    0    1359
Answered 4 days After Mar 31, 2023

## Solution

Answe
1.
Step1:
n = 1000; % sample size
df = 5; % degrees of freedom
X = randn(n,1); % X is normally distributed
Y = trnd(df,n,1); % Y is t-distributed
Step2:
% OLS estimate
X_OLS = [ones(n,1), X];
eta_OLS = X_OLS\Y;
eta2_OLS = beta_OLS(2);
fun = @(beta2) sum(abs(Y - [ones(n,1), X]*[1; beta2]));
eta2_LAD = fminsearch(fun, beta2_OLS, optimset('MaxFunEvals', 10000, 'MaxIter', 2000));
Step3:
MC = 10000; % number of MC simulations
eta2_true = 2; % true value of beta2
% preallocate memory for bias and RMSE
ias_OLS = zeros(MC,1);
mse_OLS = zeros(MC,1);
for i = 1:MC
% generate data
X = randn(n,1);
Y = trnd(df,n,1);

% OLS estimate
X_OLS = [ones(n,1), X];
beta_OLS = X_OLS\Y;
beta2_OLS = beta_OLS(2);

fun = @(beta2) sum(abs(Y - [ones(n,1), X]*[1; beta2]));
beta2_LAD = fminsearch(fun, beta2_OLS, optimset('MaxFunEvals', 10000, 'MaxIter', 2000));

% compute bias and RMSE
bias_OLS(i) = beta2_OLS - beta2_true;
rmse_OLS(i) = (beta2_OLS - beta2_true)^2;
end
% calculate simulated bias and RMSE
sim_bias_OLS = mean(bias_OLS);
sim_rmse_OLS = sqrt(mean(rmse_OLS));