ConsidertransmissionofQPSKoveranarrowbandRayleighfadingchannelsuchthat, , where,...

Question

ConsidertransmissionofQPSKoveranarrowbandRayleighfadingchannelsuchthat,  , where, isthechanneloutput,  istheRayleighfading,  yt Rt st nt y t R t ? ? ? ? ? ?  istheQPSKsignal, and, isthezeromean,whiteGaussiannoisewithpowerspectraldensity Watts/Hz. Considerthecasewherethechannelfadingoverachannelisslowwith o s t N n t 2 ?? ?? ?? respecttoasymbolperiodand andtheRayleighfadingcanbeconsideredtobeconstantoverthesymbolperiod.Then,duringasymbol time,  ,where, isaRay y t Rs t n t R ? ? leighrandomvaria ? ? ?? ?? ble. Ingeneral,hasaprobabilitydensityfunctiongivenof by, , ,  exp ,where, , . Thefadepameter modifiestheenvelopeofthesi R R r r r f r ur ur r R ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? XXXXXXXXXX ? ? ? ? ? ? ? ? gnal. Let = . hastheexponentialprobabilitydensityfunctiongivenby exp . Provethatfor ,then,  ,   exp R a R f a ua E ER fr r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (i)(1mark XXXXXXXXXX2 1 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ,  exp , and,forconstant , = JustifywhyforaRayleighfadingchannelwithaverage theaveragebiterrorprobability b bb o oo b B o r ur f a aua E EE E N NN E P N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (ii)(1mark) 2 isgivenby ,where istheaverageenergyperbitto ? ? one-sided noisedensityratioand istheenergyperbittoone-sidednoisedensity b b B o o b o E E P Q a f a da N N E N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 ?? ? ? ? ? ratio and isanexponentiallydistributedrandomvariablewithprobabilitydensityfunction givenby exp .
	
Document Preview: ELEC426, Autumn, 2017, Assignment 4, Due:   8 June 2017                     Page 2 
 
Q1 (5 marks total= XXXXXXXXXX) 
Consider transmission of QPSK over a narrowband Rayleigh fading channel such that,
          yt?? R t s t n t ,
?? ?? ? ? ??
where,        yt  is the channel output,
??
                    Rt  is the Rayleigh fading,
??
                    st  is the QPSK signal,
??
N
o
and,             nt ??  is the zero mean, white Gaussian noise with power spectral density   Watts/Hz.
2
Consider the case where the channel fading over a channel is slow with respect to a symbol period and
and the Rayleigh fading can be considered to be constant over the symbol period.  Then, during a symbol
time, 
            yt?? Rs t n t ,   where, R is a Rayleigh random variable.
? ? ?? ??
In  general, has a probability density function given of R by,
2
???10 ,        r? ,
rr
            fr?? exp ur ,      where,   ur?
?? ?? ??
???
R
22
00 ,         r? .
??2
???
The fade pameter R modifies the envelope of the signal.
1a
??
2
Let ?? =Rf .       has the exponential probability density function given by a?? expua .
?? ??
? 22 ??
22 ??
??
(i)    (1 mark)    
1
2
      Prove that for  ?? ,  then,
2
2
      EE??? ??R1,
??
??
      
2
        fr??2r exp rur ,
?? ?? ??
R
        fa?? exp aua ,
?? ? ? ??
?
EE??E
bb b
       and,  for constant  ,    E? = 
??
NN N
oo ??o
(ii)     (1 mark)
E
b
       Justify why for a Rayleigh fading channel with average    the average bit error probability P
B
N
o
?
??
??
2EE
bb
        is given by   PQ? afada,  where   is the average energy per bit to one-sided
?? ??
??
B?
?
??
NN
0oo ??
??
??E
b
        noise density ratio and ?  is the energy per bit to one-sided noise density ratio 
??
N
??o
  
        and ?  is an exponentially distributed random variable with probability density function
        given by fa?? exp aua .
?? ? ? ??
?ELEC426, Autumn, 2017, Assignment 4, Due:   8 June 2017                     Page 3 
 
. 
(iii)  (1 Mark) 
EE
bb
Let ????...

Robert · Accepted Answer

Assignment 4 
ELEC426, Autumn, 2017 
Type Your Name Here 
Date of Submission
Question 1 
Given that, QPSK signal is transmitted over narrow band, 
y(t) = R(t)s(t) + n(t) 
y(t) is channel output 
s(t) is QPSK signal 
n(t) is zero mean 
R(t) is Rayleigh fading 
Probability density function is given as,  
  ( )   
 
  
  
 
  
         -----1 
And the fade parameter is R 
If,      where   is exponential probability density function,  
  ( )   
 
   
  
 
 
        -------2 
Where u[r] = 1  for r    and 0 for r    
(i) Now for    
 
 
  
Equation 1 and 2 will become,

ConsidertransmissionofQPSKoveranarrowbandRayleighfadingchannelsuchthat, , where, isthechanneloutput, istheRayleighfading, yt Rt st nt y t R t ? ? ? ? ? ? istheQPSKsignal, and,...

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